> [!question] 题干 > 求定积分$\int _{0}^{+\infty} x^5e^{-x^2}dx$
> [!done]- 解 > > $ > \begin{aligned} > \int _{0}^{+\infty} x^5e^{-x^2}dx&=\int _{0}^{+\infty} x^4e^{-x^2}xdx\\ > &=\int _{0}^{+\infty} x^4e^{-x^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2xdx\\ > &=\frac{1}{2}\int _{0}^{+\infty} x^4e^{-x^2}d(x^2)&&根据(x^a)=ax^{a-1}dx\\ > > 令u=x^2\\ > > \int _{0}^{+\infty} x^5e^{-x^2}dx&=\frac{1}{2}\int _{0}^{+\infty} u^2e^{-u}du\\ > > \end{aligned} > $ > > 通过分部积分表格法算出答案： > > ### 步骤 1：构建表格 > > | 求导列（^2$） | 积分列（^{-u}$） | > | ---------- | ------------- | > | ^2$ | ^{-u}$ | > | $ | $-e^{-u}$ | > | $ | ^{-u}$ | > |
$ | $-e^{-u}$ | > > ### 步骤 2：交叉相乘并交替符号 > > 将表格中的每一行交叉相乘，并交替符号（从正号开始）： > > 1. 第一行：$+u^2 \cdot (-e^{-u}) = -u^2 e^{-u}$ > 2. 第二行：$-2u \cdot e^{-u} = -2u e^{-u}$ > 3. 第三行：$+2 \cdot (-e^{-u}) = -2e^{-u}$ > 4. 第四行：$-0 \cdot e^{-u} = 0$（可以忽略） > > 将这些结果相加： > > $ > I = \int u^2 e^{-u} \, du = -u^2 e^{-u} - 2u e^{-u} - 2e^{-u} + C > $ > > ### 步骤 3：计算定积分 > > 现在计算定积分： > > $ > I = \int_{0}^{+\infty} u^2 e^{-u} \, du = \left[ -u^2 e^{-u} - 2u e^{-u} - 2e^{-u} \right]_{0}^{+\infty} > $ > > #### 上限（ \to +\infty$） > - 当 \to +\infty$，^{-u}$趋近于 0，且 ^2 e^{-u}$、 e^{-u}$ 和^{-u}$ 都趋近于 0。 > - 因此，上限部分的值为 0。 > > #### 下限（ = 0$） > > - 当 \( u = 0 \)，$-u^2 e^{-u} = 0$，$-2u e^{-u} = 0$，$-2e^{-u} = -2$。 > - 因此，下限部分的值为 $-(-2) = 2$。 > > ### 步骤 4：最终结果 > > 因此： > > $ > I = \int_{0}^{+\infty} u^2 e^{-u} \, du = 2 > $ > > 原式为： > > $ > \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} u^2 e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 > $ > > ### 最终答案 > > $ > \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} u^2 e^{-u} \, du = \boxed{1} > $