> [!question] 题干 > 求定积分$\int _{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx$
> [!done]- 解 > 分析：其不定积分在初等函数没有解析解 > $ > \begin{aligned} > 设I&=\int _{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx=\int _{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}dy\\ > > I^2&=\int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dxdy&&构造成多重积分\\ > > 令r=x^2+y^2\\ > > I^2&=\int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}rdrd\theta\\ > &=\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\infty} e^{-r^2}rdr\\ > &=2\pi \int_0^{\infty} e^{-r^2}rdr\\ > &=\pi \int_0^{\infty} e^{-r^2}2rdr\\ > &=\pi \int_0^{\infty} e^{-r^2}d(r^2)\\ > &=-\pi e^{-r^2}\lvert_{0}^{\infty}\\ > &=\pi\\ > > 因此\\ > > I&=\sqrt{\pi}\\ > > \end{aligned} > > $