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> [!question] 题干 > 求定积分$\int _{0}^{+\infty} x^4e^{-x^2}dx$
> [!done]- 解 > 使用生成函数（Generating Function） > > 通过生成双重积分的方式(费曼积分法) > > $ > \begin{aligned} > I(\alpha)&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx && 构造一个函数\\ > &=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} &&通过生成双重积分的方式解出来的（可以看到当\alpha=1的时候为高斯积分）\\ > \end{aligned} > $ > 然后对$\alpha$求导： > > $ > \begin{aligned} > \frac{\partial I}{\partial \alpha}&=\frac{\partial}{\partial \alpha }\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2}dx\\ > &=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial \alpha }e^{-\alpha x^2}dx\\ > \end{aligned} > $ > > $ > \begin{aligned} > \frac{\partial^2 I}{\partial \alpha^2}&=\int_{-\infty}^{\infty} x^4e^{-\alpha x^2}dx\\ > \end{aligned} > $ > > 剩余过程还未完成 > ing