理解ing
> [!question] 题干 > 求定积分$\int _{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}dx$
> [!done]- 解 > ## 步骤1 > > 设=\int _{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}dx$ > > 我们引入一个参数a，定义一个新的积分： > > $ > I(a)=\int _{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}e^{-ax}dx > $ > > 其中\geq 0$。当=0$时，(0)=I$，即我们需要计算的积分。 > > ## 步骤2 > > 对(a)$关于a求导 > > $ > \begin{aligned} > \frac{dI}{da}&=\frac{d}{da}\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}e^{-ax}dx\\ > &=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}\cdot \frac{d}{da}(e^{-ax})dx &&积分和求导可以交换顺序（在满足一定条件下）\\ > \end{aligned} > $ > > 计算$\frac{d}{da}(e^{-ax})$： > [[费曼积分法：例1：子步骤]] > > 回到原式，代入，得： > $ > \begin{aligned} > \frac{dI}{da}&=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x}\cdot (-xe^{-ax})dx\\ > &=-\int_{0}^{+\infty}\sin(x)e^{-ax}dx\\ > &=-\frac{1}{1+a^2}\\ > \end{aligned} > $ > > 积分求(a)$ > (a)=-\int \frac{1}{1+a^2}da=-\arctan{a}+C$ > > 确定积分常数： > 当\rightarrow +\infty时，I(a)\rightarrow 0$，且$\arctan{a}\rightarrow \frac{\pi}{2}$，因此： > $ > 0=-\frac{\pi}{2}-\arctan{a} > $ > > 求(0)$: > 当=0$时， > $ > I(0)=\frac{\pi}{2}-\arctan{0}=\frac{\pi}{2} > $ > > 最终答案：$\frac{\pi}{2}$