> [!question] 题干 > 求不定积分$\int \sin{x}e^xdx$
> [!done]- 解 > 分析：容易微分的部分$\sin{x}$；容易积分的部分^xdx$ > 设想：=\sin{x}$；=e^xdx$ > > | 求导次数 | 容易求导的表达式 | 积分次数 | 容易积分的表达式 | > | ----- | -------- | ----- | -------- | > | 初始值 | $\sin{x}$ | 初始值 | ^x$ | > | 1 | $\cos{x}$ | 1 | ^x$ | > | 2 | $-\sin{x}$ | 2 | ^x$ | > | 3 | $-\cos{x}$ | 3 | ^x$ | > > 我们发现，求导的表达式无法变为0。 > > 因此 > > $ > \begin{aligned} > &\int \sin{x}e^xdx\\ > =&+(\sin{x}\cdot e^x)\\ > &-(\cos{x}\cdot e^x)\\ > &+\int ((-\sin{x})\cdot e^x)dx\\ > > 整理一下\\ > > \int \sin{x}e^xdx > &=+\sin{x}e^x-\cos{x}e^x > -\int \sin{x}e^xdx\\ > \int \sin{x}e^xdx > &=\frac{1}{2}(\sin{x}-\cos{x})e^x\\ > \end{aligned} > > $