> [!question] 题干 > 求不定积分$\int x^3e^{x}dx$
> [!done]- 解 > > [!info] 分析 > > 容易微分的部分^3$；容易积分的部分^xdx$ > > 设想：=x^3$；=e^xdx$ > > $ > \begin{aligned} > \int x^3e^{x}dx&=\int x^3d(e^{x})&&根据d(e^x)=e^xdx\\ > &=x^3e^x-\int e^xd(x^3)&&根据分部积分公式\int udv=uv-\int vdu\\ > &=x^3e^x-\int e^x\cdot 3x^2dx&&根据d(x^a)=ax^{a-1}dx\\ > &=x^3e^x-3\int x^2e^xdx\\ > \end{aligned} > $ > > > > [!note] 观察 > > 结果中的表达式\int x^2e^xdx$与初始值$\int x^3e^{x}dx$很相似 > > 尝试递归： > > 接下来处理$\int x^2e^xdx$ （第2次递归） > > > [!info] 分析 > > 容易微分的部分^2$；容易积分的部分^xdx$ > > 设想：=x^2$；=e^xdx$ > > $ > \begin{aligned} > \int x^2e^{x}dx&=\int x^2d(e^{x})&&根据d(e^x)=e^xdx\\ > &=x^2e^x-\int e^xd(x^2)&&根据分部积分公式\int udv=uv-\int vdu\\ > &=x^2e^x-\int e^x\cdot 2xdx&&根据d(x^a)=ax^{a-1}dx\\ > &=x^2e^x-2\int xe^xdx\\ > \end{aligned} > $ > > 接下来处理$\int xe^xdx$（第3次递归） > > > [!info] 分析 > > 容易微分的部分$；容易积分的部分^xdx$ > > 设想：=x$；=e^xdx$ > > $ > \begin{aligned} > \int xe^{x}dx&=\int xd(e^{x})&&根据d(e^x)=e^xdx\\ > &=xe^x-\int e^xdx&&根据分部积分公式\int udv=uv-\int vdu\\ > &=xe^x-\int d(e^x)&&根据d(e^x)=e^xdx\\ > &=xe^x-e^x+C_{rec3} > \end{aligned} > $ > > 把递归结果依次代入，得： > > $ > \begin{aligned} > \int x^3e^{x}dx&=x^3e^x-3(x^2e^x-2(xe^x-e^x+C_{rec3}))\\ > &=x^3e^x > -3x^2e^x > +6xe^x > -6e^x > +C_{rec3}\\ > \end{aligned} > $ > > 令=C_{rec3}$，得 > > $ > \begin{aligned} > \int x^3e^{x}dx&=x^3e^x > -3x^2e^x > +6xe^x > -6e^x > +C > \end{aligned} > $
> [!hint]- 归纳 > ## 表格法 > > 把容易微分（求导）的表达式连续求导，一直到0； > 把容易积分的部分连续积分，一直到与左边的0对齐。 > > | 求导次数 | 容易求导的表达式 | 积分次数 | 容易积分的表达式 | > | ----- | -------- | ----- | -------- | > | 初始值 | ^3$ | 初始值 | ^x$ | > | 1 | ^2$ | 1 | ^x$ | > | 2 | $ | 2 | ^x$ | > | 3 | $ | 3 | ^x$ | > | 4 |
$ | 4 | ^x$ | > > $ > \begin{aligned} > 积分结果=\\ > +(-1)^{1-1}\times 容易求导的表达式\times 第1次积分的表达式\\ > +(-1)^{2-1}\times 第1次求导的表达式\times 第2次积分的表达式\\ > +(-1)^{3-1}\times 第2次求导的表达式\times 第3次积分的表达式\\ > ...\\ > +(-1)^{n-1}\times 第(n-1)次求导的表达式\times 第n次积分的表达式 > \end{aligned} > $ > > 每一行对应一个阶段性的积分，代表剩余的所有表达式之和 > > 因此 > > $ > \begin{aligned} > &\int x^3e^{x}dx\\ > =&+x^3e^x\\ > &-3x^2e^x\\ > &+6xe^x\\ > &-6e^x\\ > &+C\\ > \end{aligned} > $ > > 即： > > $ > \begin{aligned} > \int x^3e^{x}dx > =x^3e^x > -3x^2e^x > +6xe^x > -6e^x > +C\\ > \end{aligned} > $