> [!question] 题干 > 请计算：$\int_{-1}^3 (x^3+1) dx$
> [!done]- 解 > 求不定积分 > $ > \begin{aligned} > \int (x^3+1) dx&=\int (x^3dx+dx)\\ > &=\int (\frac{1}{4}\cdot 4x^3 dx+dx)&&凑ax^{a-1}dx的形式\\ > &=\int (\frac{1}{4}\cdot d(x^4)+dx)&&根据d(x^a)=ax^{a-1}dx\\ > &=\int (d(\frac{x^4}{4})+dx)\\ > &=\int d(\frac{x^4}{4}+x)\\ > &=\frac{x^4}{4}+x\\ > \end{aligned} > $ > （即求出$(x^3+1)$的反导数为$(\frac{x^4}{4}+x)$，即$(\frac{x^4}{4}+x)^{\prime}=x^3+1$） > > 所以： > $\int_{-1}^3 (x^3+1) dx = [\frac{x^4}{4}+x]_{-1}^{3}=24$
> [!question] 题干 > 一辆汽车，从静止状态沿直线加速到 20m/s，花费了 10s时间。我们假设汽车是做匀加速运动（为了我们的方便计算），问汽车在10s的时间里，行驶了多远？
> [!done]- 解 > 分析：汽车行驶的路程是速度在时间上的累积，即速度函数在时间上的积分 > 10s内加速度为$\frac{20m/s}{10s}=2m/s^2$， > 则速度函数为：=2t$ > 则行驶的路程=\int_0^{10} 2t=[t^2]_0^{10}=t^2\lvert_{0}^{10}=100$。 > 答：行驶了100m。
> [!question] 题干 > 请计算：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}e^{\sin{x}} dx$
> [!done]- 解 先求不定积分 > [[0. 题型：凑微分法#例3]] > 因此， > > $ > \begin{aligned} > &\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}e^{\sin{x}} dx\\ > &=e^{\sin{\frac{\pi }{2}}}-e^{\sin{0}} > &=e-1 > \end{aligned} > $